Averbah 1952-ben szerezte meg a nemzetközi nagymesteri címet, 1954-ben szovjet bajnokságot nyert, amellett számos nemzetközi versenyen győzött, a válogatott tagjaként kétszer volt csapatban Európa-bajnok, és tiszteletbeli tagja lett a Nemzetközi Sakkszövetségnek (FIDE). 1973 és 1978 között a Szovjetunió sakkszövetségének elnöke volt. Több szakfolyóiratot irányított főszerkesztőként, számos könyvet írt.